श्वार्ट्ज के कर्नेल प्रमेय में निरंतरता और टोपोलॉजी पर

मुझे पता है कि यह एक बुनियादी सवाल हो सकता है, लेकिन डिस्टर्ब्यूशन सिद्धांत में चर्चा किए गए कार्यात्मक विश्लेषण में विभिन्न विभिन्न टोपोलॉजी के संबंध में मैं वास्तव में उलझन में हूं।

श्वार्ट्ज का प्रसिद्ध कर्नेल प्रमेय मूल रूप से निम्नलिखित पर जोर देता है: चलो $X\subset\mathbb{R}^{d}$ खुला रहें। फिर, एक रैखिक ऑपरेटर $A:C^{\infty}_{c}(X)\to\mathcal{D}^{\ prime}(X)$ निरंतर है यदि और केवल यदि कोई बिडिस्ट्रिब्यूशन मौजूद है $k_{ A}\in \mathcal{D}^{\ prime}(X\times X)$ ऐसा है कि $$\langel A\varphi,\psi\rangle_{X}=\langel k_{A},\psi\boxtimes\varphi\rangle_{X\times X}$$

उपरोक्त सूत्रीकरण में, $\mathcal{D}^{\ prime}$ पर कौन सी टोपोलॉजी चुनी गई है? क्या यह मजबूत है या कमजोर $\ast$-एक? इसके अलावा, $A$ की निरंतरता, क्या इसे केवल अनुक्रमिक निरंतरता माना जाता है? मैं यह इसलिए पूछ रहा हूं क्योंकि मैंने विभिन्न स्रोतों में अलग-अलग दावे देखे हैं। अधिकांश दावों में, ऐसा लगता है कि कोई $\mathcal{D}^{\ prime}$ पर मजबूत टोपोलॉजी और $A$ के लिए मजबूत निरंतरता लेता है। हालाँकि, जर्मन विकिपीडिया पेज में, किसी तरह इस बात पर जोर दिया गया है कि कर्नेल $k_{A}$ से आने वाला एक ऑपरेटर $A$ सामान्य तौर पर केवल क्रमिक रूप से निरंतर होता है, लेकिन वे यह निर्दिष्ट नहीं करते हैं कि वे $\mathcal{D पर किस टोपोलॉजी का उपयोग करते हैं }^{\प्राइम}$. अंतिम लेकिन महत्वपूर्ण बात, तारखानोव की इस पुस्तक में (अनुभाग 1.5.1 देखें), ऑपरेटर $A$ स्थान $\mathcal{L}_{b}(C^{\infty}_{c}(X) में है ),\mathcal{D}^{\ prime}(X))$, जो $C^{\infty}_{c}(X)$ के परिबद्ध उपसमुच्चय पर एकसमान अभिसरण की टोपोलॉजी है। यह चित्र में कैसे फिट बैठता है?

परीक्षण कार्यों के स्थान $\mathscr D=C_c^\infty(X)$ को स्थानीय रूप से उत्तल प्रेरक सीमा टोपोलॉजी (=स्थानीय रूप से उत्तल श्रेणी में कोलिमिट) मिलती है, जो $\mathscr D$ पर बेहतरीन स्थानीय उत्तल टोपोलॉजी है जैसे कि सभी समावेशन $i_K$ $\mathscr D_K =\{\varphi\in\mathscr D:$ supp$(\varphi)\subseteq K\}$ से $\mathscr D$ में कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय के लिए $K\subseteq X$ निरंतर हैं। रिक्त स्थान $\mathscr D_K$ सभी (आंशिक) डेरिवेटिव के समान अभिसरण की प्राकृतिक टोपोलॉजी में फ़्रेचेट रिक्त स्थान हैं। कोलिमिट्स की सार्वभौमिक संपत्ति का तात्पर्य है कि एक रैखिक किसी भी स्थानीय उत्तल स्थान में $A:\mathscr D\to F$ निरंतर है यदि और केवल यदि सभी रचनाएँ $A\circ i_K$ ($A$ से $\mathscr D_K$ के प्रतिबंध) निरंतर हैं।

< br>चूंकि $\mathscr D_K$ मेट्रिज़ेबल हैं, आप पाते हैं कि $A$ की निरंतरता अनुक्रमिक निरंतरता के बराबर है। इसके अलावा, यदि रेंज $F$ एक तथाकथित वेबबेड स्थानीय रूप से उत्तल स्थान है - बंद ग्राफ प्रमेय के सामान्यीकरण के बारे में ग्रोथेंडिक के एक प्रश्न के जवाब में डी वाइल्ड द्वारा पेश किया गया एक वर्ग, विशेष रूप से $F=\mathscr D'( X)$ अपनी मजबूत टोपोलॉजी के साथ वेबबेड है - तो आपके पास एक बंद ग्राफ़ प्रमेय है: यदि $A:\mathscr D \to F$ में (क्रमिक रूप से) बंद ग्राफ़ है तो $A$ है निरंतर।

विशेष रूप से, यदि $A:\mathscr D \to (\mathscr D'(X),\sigma(\mathscr D'(X),\mathscr D))$ क्रमिक रूप से निरंतर है इसका ग्राफ बंद है और इसलिए यह एक ऑपरेटर के रूप में निरंतर है $\mathscr D\to (\mathscr D'(X),\beta(\mathscr D'(X),\mathscr D))$.

परीक्षण कार्यों का स्थान एक मोंटेल स्थान है, और इसके निरंतर दोहरे मजबूत अभिसरण और कमजोर-* अभिसरण अनुक्रमों के लिए समान हैं। इसलिए इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप अनुक्रमिक निरंतरता के संबंध में दोनों में से किसे चुनते हैं।

इन

ट्रेव्स, फ्रांकोइस, टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस, डिस्ट्रीब्यूशन और कर्नेल, माइनोला, एनवाई : डोवर प्रकाशन (आईएसबीएन 0-486-45352-9)। xvi, 565पी. (2006)। ZBL1111.46001।

ये कथन अध्याय 34, खंड 4 में सिद्ध हैं।